Určitý integrál

11. listopadu 2007 v 12:33 |  MATEMATIKA I-IV
3 Určitý integrál a jeho aplikace
3. 1 Definice
Mějme funkci f(x) spojitou a nezápornou na .
y
x = b
x = a f(x)
x
a b
Počítejme obsah obrazce omezeného křivkou y = f(x) osou x a přímkami x = a, x = b.
Interval rozdělíme na n dílků s dělícími body xi :
a = x0 < x1 < ….. < xi-1 < xi < ….. < xn-1 < xn = b
Uvnitř každého intervalu zvolme bod ξi a určeme f(ξi).
y
x = b
x = a f(x)
f(ξi)
x
a = x0 xi-1 ξi xi b = xn
Velikost každého dílku označme ∆xi = xi - xi-1
Obsah obrazce omezeného křivkou y = f(x) osou x a přímkami x = xi-1, x = xi je přibližně roven obsahu obdélníka
Si = f(ξi) ∆xi
Součet obsahů všech takovýchto obdélníků S = je přibližně roven obsahu uvažované plochy.
Zpravidla uvažujeme dílky ∆xi stejně veliké a bod ξi volíme uprostřed dílku. Čím bude n větší, tím bude dílků více a tím bude výpočet přesnější. Uvedená konstrukce platí i pro spojitou funkci, která nemusí být nezáporná.
Definice (Reimannova). Určitý integrál od a do b ze spojité
funkce f(x) definujeme jako limitu posloupnosti
středních integrálních součtů
=
a je dolní integrační mez, b je horní integrační mez.
Je-li f(x) ≥ 0 vyjadřuje takto definovaný určitý integrál obsah plochy omezené křivkou y = f(x), osou x a přímkami x = a,
x = b.
3. 2 Výpočet určitého integrálu
Výpočet určitého integrálu provádíme jednodušším způsobem pomocí Newton-Leibnizova vzorce
,
kde F je primitivní funkce k f na
Z této formule vyplývají následující vlastnosti určitého integrálu:
·
·
·
·
·
a c b
y
f(x)
x
Metody výpočtu určitého integrálu
1. Přímá integrace
2. Úprava integrandu (pomocí algebraických nebo gonio-
metrických vzorců, rozkladem na parciální zlomky, …)
3. Metoda "per partes"
4. Metoda substituční….. užijeme-li k výpočtu substituci, mu-
síme toutéž substitucí transformo-
vat meze:
Můžeme také postupovat tak, že nejdříve najdeme
primitivní funkci F(x) k funkci f(x) a pak použijeme
Newton-Leibnizův vzorec.
3. 3 Geometrické aplikace určitého integrálu
1. Obsah rovinné plochy
a) Ohraničené křivkou y = f(x) a osou x
b) Ohraničené dvěma křivkami y = f(x) a y = g(x).
Integrační meze a, b jsou rovny x-ovým souřadnicím průsečíků daných křivek. Určíme je jako řešení soustavy rovnic
y = f(x)
y = g(x)
2. Objem rotačního tělesa,které vznikne rotací dané plochy kolem osy x.
a) Rotací plochy ohraničené křivkou y = f(x) a osou x.
b) Rotací plochy ohraničené dvěma křivkami y = f(x) a y = g(x).
 

Buď první, kdo ohodnotí tento článek.

Nový komentář

Přihlásit se
  Ještě nemáte vlastní web? Můžete si jej zdarma založit na Blog.cz.
 

Aktuální články

Reklama