Lineární rovnice

11. listopadu 2007 v 12:29 |  MATEMATIKA I-IV
1 Řešení lineárních rovnic vzhledem
k bázi
1. 1 Vektorový prostor.
Vektor je veličina, která má velikost a směr, znázorňujeme ho orientovanou úsečkou.
A
B
Jsou-li dány souřadnice bodů A a B, např., je-li
A = [1, 3] B = [4, 2],
je
3
2
1
0 1 2 3 4
Vektor pak můžeme vyjádřit jako uspořádanou dvojici bodů (3, -1).
Definice. Uspořádanou n-tici čísel a1, a2, a3, …, an nazveme
číselným vektorem dimenze n.
Píšeme = (a1, a2, a3, …, an).
Čísla a1, a2, a3, …, an se nazývají souřadnice (složky) vektoru.
Vektor, jehož všechny složky se rovnají nule, se nazývá nulový vektor
= (0, 0, 0, …., 0).
Nechť jsou dány vektory = (a1, a2, a3, …, an)
= (b1, b2, b3, …, bn)
téže dimenze n a reálné číslo . Potom definujeme sčítání a odčítání vektorů ± a násobení vektoru číslem .
Vlastnosti těchto operací: Černá. Matematika. Lineární algebra. str. 10-13.
Definice. Nechť jsou dány vektory
a reálná čísla .
Říkáme, že:
1. Vektor =
je lineární kombinací vektorů .
2. Vektory jsou lineárně nezávislé, jestliže
žádný z nich není lineární kombinaci ostatních.
3. Vektory jsou lineárně závislé, jestliže
alespoň jeden z nich je lineární kombinaci ostatních.
Věta. 1. Nenulové vektory jsou lineárně nezá-
vislé, právě když rovnice
=
platí pouze pro .
2. Vektory jsou lineárně závislé,
právě když rovnice
=
platí pro alespoň jedno .
Definice. Množina V vektorů téže dimenze n, která:
1. obsahuje nulový vektor ,
2. s každým vektorem obsahuje všechny jeho
násobky ,
3. s lib. vektory obsahuje jejich součet ,
se nazývá vektorový prostor dimenze n.
Vektorový prostor dimenze n je tvořen všemi možnými vektory dimenze n.
Definice. Každá skupina lineárně nezávislých vektorů
V,
taková, že každý jiný vektor z V je na ni lineárně závislý, se nazývá báze vektorového prostoru V.
Značíme ji .
Věta. Mezi vektory dimenze n existuje nejvýše n lineárně nezávislých vektorů:
Ve vektorovém prostoru dimenze n je to právě n vektorů, takže každá báze je tvořena n vektory.
Ve skupině vektorů je to h vektorů, h ≤ n, které pak tvoří bázi této skupiny (soustavy).
Každý vektor vektorového prostoru resp. soustavy vektorů je pak lineární kombinací vektorů báze (dá se vyjádřit pomocí vektorů báze).
z
y
x
Př. Ve vektorovém prostoru dimenze 3 tvoří bázi například vektory
=
_____________________________________________
= 0
= 0 tedy
= 0
Pro libovolný jiný vektor, např. pak platí, že
Př. Zjistěte, zda vektory
, , , ,
jsou lineárně závislé nebo nezávislé.
Nechť vektory tvoří sloupce matice. Protože hodnost matice se rovná hodnosti matice transponované, je maximální počet lineárně nezávislých vektorů ve skupině stejný jako hodnost této matice.
1 1 0 2 1 5
1 5 6 3 -1 14
2 2 0 4 0 8
1 1 0 2 1 5
0 4 6 1 -2 9
0 0 0 0 -2 -2
Hodnost uvažované matice je 3 Û , , jsou lineárně nezávislé, jsou lineárně závislé a každá báze této soustavy obsahuje 3 vektory.
1. 2 Řešení soustavy lineárních rovnic vzhledem
k bázi
Soustavu lineárních rovnic
a11x1 + a12x2 + ….. + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ….. + a2nxn = b2
.
.
.
.
.
am1x1 + am2x2 + ….. + amnxn = bm
můžeme zapsat v maticovém tvaru , kde A je matice soustavy
A = a
nebo ve vektorovém tvaru
,
kde vektory představují sloupce matice A.
Věta Frobeniova. Soustava m lineárních rovnic o n neznámých má řešení právě tehdy, když hodnost matice soustavy se rovná hodnosti rozšířené matice soustavy, tj.
h(A) = h(Ar).
Je-li h(A) = h(Ar) = h …. má soustava rovnic řešení
h = n …. má právě jedno řešení
h<n …. má nekonečně mnoho řešení,
které tvoří h tzv. hlavních neznámých a (n-h) tzv. volných (volitelných) neznámých neboli parametrů. Hlavní neznámé vyjádříme pomocí volných neznámých.
Je-li h hodnost matice A, můžeme z n vektorů vybrat h lineárně nezávislých, které tvoří bázi nejvýše
způsoby.
Je-li h = n, existuje právě báze a splňuje-li soustava rovnic Frobeniovu větu, má právě jedno řešení. To určíme eliminační metodou nebo pomocí Cramerova pravidla.
Je-li h<n, existuje nejvýše bází a splňuje-li soustava rovnic Frobeniovu větu, má nekonečně mnoho řešení, která určíme Gaussovou nebo Jordanovou metodou.
Říkáme, že matice hodnosti h je v zesíleném schodovitém tvaru ( v kanonickém tvaru) , když obsahuje jednotkovou matici řádu h. Sloupcové vektory této jednotkové matice jsou lineárně nezávislé a tvoří bázi B soustavy vektorů tvořené sloupci dané matice. Říkáme, že jsme soustavu rovnic řešili vzhledem k této bázi B. Hlavní neznámé pak nazýváme bázické neznámé.
Řešení vzhledem k dalším bázím B2,B3, …. nalezneme transformací kanonického tvaru rozšířené matice soustavy.
Př. x1 - 3 x2 + x3 + x4 = 1
2x1 - x2 - 3 x3 + 2 x4 = 7
x1 + 4 x2 - x4 = 2
Př. 2 x1 + x2 - x3 - x4 + x5 = 1
x1 - x2 + x3 + x4 - 2 x5 = 0
3 x1 + 3 x2 - 3 x3 - 3 x4 + 4 x5 = 2
4 x1 + 5 x2 - 5 x3 - 5 x4 + 7 x5 = 3
 

Buď první, kdo ohodnotí tento článek.

Nový komentář

Přihlásit se
  Ještě nemáte vlastní web? Můžete si jej zdarma založit na Blog.cz.
 

Aktuální články

Reklama